Bölme ve Bölünebilme
Bir sayının hangi sayılara tam bölündüğünü uzun uzun bölme işlemi yapmadan, sadece rakamlarına bakarak anlayabilmek, KPSS'de zaman kazandıran en pratik becerilerden biridir. Bu yazıda 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 ve 11 ile bölünebilme kurallarını, kalanlı bölmeyi ve EBOB-EKOK mantığını örneklerle anlatıyoruz.
Bölünebilme Kuralları Neden İşe Yarar?
Büyük bir sayının belirli bir sayıya tam bölünüp bölünmediğini anlamak için elle bölme işlemi yapmak zaman kaybettirir. Oysa her bölen için sayının rakamlarına bakarak sonucu saniyeler içinde söyleyebileceğin sabit kurallar vardır. Bu kurallar özellikle EBOB-EKOK, kesir sadeleştirme ve sayı problemlerinin çözümünde işini kolaylaştırır.
2, 5 ve 10 ile Bölünebilme
Bu üç kural, sayının yalnızca son basamağına bakılarak uygulanır:
- 2 ile bölünebilme: Son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan (yani çift olan) her sayı 2'ye tam bölünür. Örnek: 374, 1230.
- 5 ile bölünebilme: Son basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5'e tam bölünür. Örnek: 285, 940.
- 10 ile bölünebilme: Son basamağı 0 olan sayılar 10'a tam bölünür. Örnek: 630, 4200.
3 ve 9 ile Bölünebilme
Bu iki kural sayının tüm rakamlarının toplamına bakılarak uygulanır:
- 3 ile bölünebilme: Rakamları toplamı 3'e tam bölünen her sayı, 3'e de tam bölünür. Örnek: 462 → 4+6+2=12, 12 üçe bölündüğü için 462 de 3'e bölünür.
- 9 ile bölünebilme: Rakamları toplamı 9'a tam bölünen her sayı, 9'a da tam bölünür. Örnek: 6741 → 6+7+4+1=18, 18 dokuza bölündüğü için 6741 de 9'a bölünür.
4 ve 8 ile Bölünebilme
Bu kurallar sayının son basamaklarından oluşan küçük sayıya bakılarak uygulanır:
- 4 ile bölünebilme: Son iki basamağın oluşturduğu sayı 4'e tam bölünüyorsa (ya da son iki basamak 00 ise), sayının tamamı da 4'e bölünür. Örnek: 3116 → son iki basamak 16, 16÷4=4 tam bölünür, o hâlde 3116 da 4'e bölünür.
- 8 ile bölünebilme: Son üç basamağın oluşturduğu sayı 8'e tam bölünüyorsa, sayının tamamı da 8'e bölünür. Örnek: 4128 → son üç basamak 128, 128÷8=16 tam bölünür, o hâlde 4128 de 8'e bölünür.
6 ile Bölünebilme
6 sayısı 2 ile 3'ün çarpımı olduğu için, bir sayının 6'ya bölünebilmesi için hem 2'ye hem de 3'e aynı anda tam bölünmesi gerekir. Yani sayı hem çift olmalı hem de rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır.
252 sayısı 6 ile tam bölünür mü?
11 ile Bölünebilme
11 kuralı biraz farklı çalışır: sayının rakamları sondan başlanarak sırayla artı-eksi-artı-eksi şeklinde işaretlenip toplanır. Çıkan sonuç 0 ise veya 11'in bir katı ise, sayı 11'e tam bölünür.
374 sayısı hangi asal sayılara (2, 3, 5, 7, 11 arasından) tam bölünür?
| Bölen | Kural |
|---|---|
| 2 | Son basamak çift (0,2,4,6,8) olmalı |
| 3 | Rakamlar toplamı 3'ün katı olmalı |
| 4 | Son iki basamak 4'ün katı olmalı |
| 5 | Son basamak 0 veya 5 olmalı |
| 6 | Hem 2'ye hem 3'e bölünmeli |
| 8 | Son üç basamak 8'in katı olmalı |
| 9 | Rakamlar toplamı 9'un katı olmalı |
| 10 | Son basamak 0 olmalı |
| 11 | Sondan artı-eksi toplanan rakamlar 0 ya da 11'in katı olmalı |
Kalanlı Bölme
Bir sayı, başka bir sayıya tam bölünmüyorsa geriye bir kalan kalır. Kalanlı bölmede dört temel eleman vardır: bölünen (bölünen sayı), bölen, bölüm ve kalan. Bunlar arasındaki temel bağıntı şudur:
Bir sayı 7'ye bölündüğünde bölüm 15, kalan 4 oluyor. Bu sayı kaçtır?
EBOB ve EKOK Mantığı
EBOB (En Büyük Ortak Bölen), iki veya daha fazla sayıyı aynı anda tam bölen sayıların en büyüğüdür. EKOK (En Küçük Ortak Kat) ise, iki veya daha fazla sayının ortak katı olan sayıların en küçüğüdür. En pratik yöntem, sayıları asal çarpanlarına ayırmaktır:
- EBOB için: ortak olan asal çarpanların en küçük üslüsü alınıp çarpılır.
- EKOK için: sayılarda geçen tüm asal çarpanların en büyük üslüsü alınıp çarpılır.
48 ve 60 sayılarının EBOB ve EKOK'unu bulunuz.
Bölünebilme Kurallarını Birleştirmek
KPSS'de bir sayının 12, 15 ya da 18 gibi bileşik sayılara bölünüp bölünmediği sorulduğunda tek tek uzun bölme yapmana gerek yoktur. Bu sayıyı aralarında asal iki çarpanına ayırıp her iki kuralı ayrı ayrı uygulaman yeterlidir. Örneğin 12 = 4 × 3 olduğundan bir sayının 12'ye bölünmesi için hem son iki basamağının 4'ün katı olması hem de rakamları toplamının 3'ün katı olması gerekir. Aynı mantıkla 15 = 3 × 5, 18 = 2 × 9 ve 45 = 9 × 5 kurallarını da kolayca üretebilirsin.
2 340 sayısı 36 ile tam bölünür mü?
Bölünebilme kuralları, kalanlı bölme ve EBOB-EKOK mantığı; sayı problemlerinden kesir sadeleştirmeye kadar birçok soruda karşına çıkar. Bu kuralları rakamlara bakar bakmaz otomatik uygulayabilecek hâle gelmen, sınavda önemli ölçüde zaman kazandırır. Sırada üslü ve köklü sayılar var; bölünebilme bilgin köklü ifadeleri sadeleştirirken de işine yarayacak.
Sık Sorulan Sorular
Bir sayı hem 2'ye hem 5'e bölünüyorsa, kesin olarak neye de bölünür?
Hem 2'ye hem 5'e bölünen bir sayı, aynı zamanda 10'a da tam bölünür; çünkü böyle bir sayının son basamağı hem çift hem de 0 veya 5 olabileceğinden yalnızca 0 olabilir.
EBOB her zaman EKOK'tan küçük müdür?
Evet, sayılar birbirinin katı olmadığı sürece EBOB her zaman EKOK'tan küçüktür. Sayılardan biri diğerinin katıysa (örneğin 4 ve 8 gibi), EBOB küçük sayıya (4), EKOK ise büyük sayıya (8) eşit olur.
7 ve 13 gibi bölenler için pratik bir kural yok mu?
7, 13 gibi sayılar için pratik rakam kuralları daha karmaşık ve akılda tutması zor olduğundan KPSS'de bu bölenler için doğrudan bölme işlemi yapmak genellikle daha hızlı ve güvenilir bir yoldur.