Temel Kavramlar
KPSS Matematik sorularının neredeyse tamamı, sayılarla ilgili birkaç temel tanımın üzerine kuruludur. Sayı kümelerini, tek-çift ve pozitif-negatif sayıları, ardışık sayıları, asal sayıları ve işlem önceliğini sağlam öğrenmeden diğer konulara geçmek, ileride basit hatalar yüzünden net kaybetmene yol açar. Bu yazıda bu temelleri örneklerle, ezbersiz bir mantıkla anlatıyoruz.
Sayı Kümeleri Nedir?
Matematikte sayılar, ortak özelliklerine göre kümelere ayrılır. KPSS'de doğrudan küme sembolleriyle uğraşman istenmez; ama bir sayının hangi kümeye ait olduğunu bilmen, sorunun mantığını çözmene yardımcı olur.
- Doğal sayılar (N): 0, 1, 2, 3, 4... şeklinde devam eden, negatif olmayan ve kesirli kısmı bulunmayan sayılardır. Sayma işleminde kullandığımız en temel kümedir.
- Tam sayılar (Z): Doğal sayılara negatif değerlerin de eklenmesiyle oluşur: ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... Yani "eksi 5" bir tam sayıdır ama doğal sayı değildir.
- Rasyonel sayılar (Q): İki tam sayının oranı (kesri) biçiminde yazılabilen sayılardır. 3/4, -2/5, 0,75, 6 (yani 6/1) gibi sayılar rasyoneldir. Ondalık açılımı ya sonlu biter ya da belli bir düzende tekrar eder.
- İrrasyonel sayılar: Kesir biçiminde yazılamayan, ondalık açılımı hem sonsuz hem de düzensiz devam eden sayılardır. √2, √3, π (pi sayısı) bu gruba girer.
| Küme | Örnek Sayılar | Kısa Not |
|---|---|---|
| Doğal sayılar | 0, 1, 2, 3, 4, 5... | Negatif ve kesirli değer yok |
| Tam sayılar | -4, -1, 0, 2, 7... | Negatifler dahil edilir |
| Rasyonel sayılar | 1/2, -3/4, 0,25, 5 | Kesir biçiminde yazılabilir |
| İrrasyonel sayılar | √2, √5, π | Kesir biçiminde yazılamaz |
Tek ve Çift Sayılar
Bir tam sayı 2'ye tam bölünüyorsa çift sayı, bölünmüyorsa tek sayıdır. Çift sayılar 2k, tek sayılar 2k+1 biçiminde genellenir (k bir tam sayıdır). KPSS'de tek-çift sayılarla ilgili sorular genelde toplama ve çarpma sonucunun tek mi çift mi olacağını sormaktadır; bu yüzden aşağıdaki kuralları ezberlemek yerine mantığını kavramak işini kolaylaştırır.
- Çift + Çift = Çift, Tek + Tek = Çift, Tek + Çift = Tek
- Çift × Çift = Çift, Tek × Tek = Tek, Tek × Çift = Çift
- Bir çarpımın çift olması için çarpanlardan en az birinin çift olması yeterlidir.
Pozitif, Negatif Sayılar ve Mutlak Değer
Sıfırdan büyük sayılara pozitif, sıfırdan küçük sayılara negatif sayı denir. Sıfır kendisi ne pozitif ne negatiftir. Bir sayının başındaki eksi işareti, sayının sayı doğrusunda sıfırın solunda olduğunu gösterir; büyüklük karşılaştırmasında sayı doğrusunda sağda olan sayı her zaman daha büyüktür (örneğin -2, -8'den büyüktür).
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığıdır ve her zaman pozitif veya sıfırdır. |x| şeklinde gösterilir. Örneğin |-6| = 6 ve |6| = 6'dır; çünkü her iki sayı da sıfırdan 6 birim uzaktadır.
|−7| + |4| − |−2| işleminin sonucu kaçtır?
Ardışık Sayılar
Belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılara ardışık sayılar denir. En sık karşılaşacağın türleri şunlardır:
- Ardışık sayılar: n, n+1, n+2... (aralarında 1 fark vardır. Örnek: 7, 8, 9)
- Ardışık çift sayılar: n, n+2, n+4... (n çift ise. Örnek: 10, 12, 14)
- Ardışık tek sayılar: n, n+2, n+4... (n tek ise. Örnek: 11, 13, 15)
Ardışık sayı problemlerinde en pratik yol, ortadaki sayıyı "x" ile ifade edip diğerlerini ona göre yazmaktır. Böylece toplama işlemleri kısalır ve hata payı azalır.
Üç ardışık çift sayının toplamı 90'dır. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
Asal Sayılar
Asal sayı, sadece 1'e ve kendisine tam bölünebilen, 1'den büyük doğal sayıdır. Yani tam olarak iki pozitif böleni vardır: 1 ve kendisi. 1 sayısı asal sayı değildir, çünkü tek böleni vardır. 2 ise hem asal hem de tek çift asal sayıdır; 2'den sonraki tüm çift sayılar asal olamaz çünkü en az 2'ye de bölünürler.
1'den 20'ye kadar olan asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için, sayının karekökünden küçük veya ona eşit asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterlidir.
1'den 20'ye kadar (20 dahil) kaç tane asal sayı vardır?
İşlem Önceliği (İşlem Sırası)
Birden çok işlemin bulunduğu bir ifadede hangi işlemin önce yapılacağını belirleyen kurala işlem önceliği denir. Sıralama şöyledir:
- Parantez içi işlemler (varsa iç içe parantezlerde en içten dışa doğru)
- Üs alma ve kök alma işlemleri
- Çarpma ve bölme işlemleri (soldan sağa, aralarında öncelik farkı yoktur)
- Toplama ve çıkarma işlemleri (soldan sağa)
12 + 3 × (8 − 5)² ÷ 9 işleminin sonucu kaçtır?
Bu altı başlık, KPSS Matematik'in geri kalanının üzerine oturacağı zemindir. Sayı kümelerini karıştırmadan tanıyabiliyor, tek-çift ve pozitif-negatif sayılarla hızlı işlem yapabiliyor, ardışık sayı ifadelerini x cinsinden yazabiliyor, asal sayıları tanıyabiliyor ve işlem önceliğini hatasız uygulayabiliyorsan; bölünebilme, üslü-köklü sayılar ve problemler konularına çok daha rahat geçiş yaparsın. Şimdi sırada bölünebilme kuralları var.
Sık Sorulan Sorular
0 sayısı tek mi çift midir?
0 sayısı çift sayıdır, çünkü 2'ye tam bölünür (0 ÷ 2 = 0, kalan yoktur). 0 aynı zamanda ne pozitif ne de negatiftir.
1 neden asal sayı sayılmaz?
Asal sayı tanımı gereği tam olarak iki pozitif bölene sahip olmalıdır. 1 sayısının ise tek böleni (kendisi) vardır, bu yüzden asal sayı tanımına girmez; ne asal ne de bileşiktir.
Negatif bir sayının mutlak değeri her zaman pozitif midir?
Evet. Mutlak değer, sayının sıfıra olan uzaklığını ifade ettiği için sonuç asla negatif çıkmaz; negatif sayıların mutlak değeri kendisinin pozitif karşılığıdır, sıfırın mutlak değeri ise sıfırdır.