Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara ayırma, bir toplama veya çıkarma ifadesini çarpım biçimine dönüştürme işlemidir. KPSS'de hem tek başına soru olarak hem de kesir sadeleştirme ve denklem çözme sorularının içinde sürekli karşına çıkar. Bu yazıda ortak çarpan parantezine alma, temel özdeşlikler ve gruplandırma yöntemini örneklerle anlatıyoruz.
Çarpanlara Ayırma Ne İşe Yarar?
Bir cebirsel ifadeyi toplama-çıkarma biçiminden çarpım biçimine çevirdiğinde, o ifadeyi daha küçük parçalara bölebilir, kesirlerde sadeleştirme yapabilir ya da bir ifadenin hangi değerlerde sıfır olacağını kolayca görebilirsin. KPSS'de bu beceri, uzun görünen ifadeleri birkaç adımda sonuca ulaştırmanın anahtarıdır.
Çarpanlara ayırma aslında çarpma işleminin tersidir: dağılma özelliğiyle bir çarpımı açıp toplam hâline getirebildiğin gibi, bir toplamı da belirli kalıpları tanıyarak tekrar çarpım hâline getirebilirsin. Bu becerinin en büyük faydası, karmaşık görünen bir ifadenin hangi değerlerde sıfıra eşit olacağını, hangi sayılara bölünebileceğini ya da nasıl sadeleşeceğini gözle görülür hâle getirmesidir. Bu yüzden çarpanlara ayırma, ileride denklemler ve kesirli ifadelerle çalışırken sürekli başvuracağın bir temel araçtır.
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Bir ifadedeki her terimde ortak olan çarpan (sayı, harf ya da her ikisi birden) parantez dışına alınır ve geriye kalanlar parantez içine yazılır. Bu, çarpanlara ayırmanın en temel ve en sık kullanılan yoludur.
6x²y + 9xy² ifadesini çarpanlarına ayırınız.
İki Kare Farkı Özdeşliği
İki terimin karelerinin farkı biçimindeki ifadeler, iki çarpanın çarpımı olarak yazılabilir:
Bu özdeşlik özellikle kesir sadeleştirme sorularında çok işe yarar, çünkü paydaki veya paydadaki "kare fark" biçimini fark ettiğinde ifadeyi hızla iki çarpana ayırabilirsin.
x² − 49 ifadesini çarpanlarına ayırıp x = 10 için hem orijinal hem de çarpanlanmış hâlde değerini bularak kontrol ediniz.
Tam Kare Özdeşlikleri
İki terimli bir ifadenin karesi alındığında ortaya çıkan üç terimli ifadeler, tam kare özdeşlikleriyle geriye çevrilebilir:
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Bir ifadenin tam kare özdeşliği olup olmadığını anlamak için: ilk ve son terimin tam kare olup olmadığına, ortadaki terimin de bu iki terimin kareköklerinin iki katına eşit olup olmadığına bakılır.
x² + 12x + 36 ifadesi hangi tam kare ifadenin açılımıdır?
Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma
Dört terimli bir ifadede ortak tek bir çarpan bulunmuyorsa, terimler ikişerli gruplara ayrılıp her gruptan ayrı ayrı ortak çarpan parantezine alınır. Eğer iki gruptan da aynı parantez içi çıkarsa, bu ortak parantez tekrar dışarı alınarak işlem tamamlanır. Örneğin ax + ay + bx + by ifadesinde ilk iki terimden a, son iki terimden b ortak alınırsa a(x+y) + b(x+y) elde edilir; (x+y) ortak parantezi dışarı alınınca sonuç (x+y)(a+b) olur.
Gruplandırma yönteminin işe yaraması için her grubun kendi içinde ortak bir çarpanı olması ve iki gruptan çıkan parantez içlerinin birbirinin aynısı olması gerekir. Bu koşul sağlanmıyorsa, terimleri farklı ikili gruplar hâlinde yeniden denemek ya da başka bir yöntem (özdeşlik ya da ortak çarpan) aramak gerekir.
Çarpanlara Ayırma ile Sadeleştirme
Kesirli ifadelerde pay ve payda çarpanlarına ayrılabiliyorsa, ortak çarpanlar sadeleştirilerek kesir en sade hâline getirilir. Bu işlem yapılırken sadeleştirilen değerin payda sıfır yapmadığından emin olunmalıdır.
(x² − 16) / (x + 4) kesrini sadeleştiriniz (x ≠ −4).
Ortak çarpan parantezine alma, iki kare farkı, tam kare özdeşlikleri ve gruplandırma; birbirini tamamlayan dört temel yöntemdir. Bir ifadeyle karşılaştığında önce ortak çarpan arayarak başla, sonra özdeşliklere uyup uymadığını kontrol et, uymuyorsa gruplandırmayı dene. Sıradaki konu olan oran ve orantıda da sadeleştirme becerin sana yardımcı olacak.
Rasyonel İfadelerde Sadeleştirme ve Ek Örnekler
Öğrendiğin dört yöntemi (ortak çarpan, iki kare farkı, tam kare, gruplandırma) küçük sayılarla birkaç kez daha uygulamak, sınavda karşına farklı harflerle çıktığında bu kalıpları hızlıca tanımanı sağlar. Ayrıca çarpanlara ayırmanın en pratik kullanım alanlarından biri olan rasyonel (kesirli) ifadelerde sadeleştirmeyi de bu bölümde ele alacağız.
x² − 9 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
x² + 6x + 9 ifadesi hangi tam kare ifadenin açılımıdır?
6x² + 9x ifadesini çarpanlarına ayırınız.
(x² − 4) / (x + 2) kesrini sadeleştiriniz (x ≠ −2).
Sık Sorulan Sorular
a² + b² ifadesi çarpanlarına ayrılabilir mi?
Gerçek sayılar kümesinde a² + b² (iki kare toplamı) genel olarak çarpanlarına ayrılamaz; çarpanlara ayrılabilen özdeşlik a² − b² (iki kare farkı) biçimindeki ifadelerdir.
Her üç terimli ifade tam kare özdeşliği midir?
Hayır. Üç terimli bir ifadenin tam kare özdeşliği olabilmesi için ilk ve son terimlerin tam kare olması, ortadaki terimin de bu iki terimin kareköklerinin iki katına eşit olması gerekir. Bu koşullar sağlanmıyorsa ifade farklı yöntemlerle (örneğin çarpanlara ayırma tablosu ile) incelenmelidir.
Ortak çarpan bulunamıyorsa ne yapmalıyım?
Önce terim sayısına bak: dört terimli bir ifadeyse gruplandırmayı dene, üç terimliyse tam kare veya çarpan tablosu yöntemini dene, iki terimliyse iki kare farkı olup olmadığını kontrol et.