Oran ve Orantı
Oran ve orantı, günlük hayatta da sık kullandığımız ama sınav ortamında ne yazık ki çoğu adayı yanılttığı bir konudur. Bir büyüklük artarken diğerinin artıp artmadığını doğru tespit edebilmek, orantı sorularının anahtarıdır. Bu yazıda doğru orantı, ters orantı, orantılı paylaştırma, ortalama ve karışım problemlerinin mantığını örneklerle anlatıyoruz.
Oran Nedir?
Oran, iki büyüklüğün birbirine bölünmesiyle elde edilen değerdir ve a/b ya da a:b şeklinde gösterilir. Örneğin bir sınıfta 12 kız, 18 erkek öğrenci varsa, kız öğrencilerin erkek öğrencilere oranı 12/18 = 2/3'tür. Orantı ise iki oranın birbirine eşit olması durumudur: a/b = c/d. Orantıda "içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir" kuralı kullanılır: a×d = b×c.
Oran her zaman aynı cins büyüklükler arasında kurulur; kilogram ile metreyi doğrudan oranlayamazsın, ama iki farklı grubun kilogram cinsinden ağırlıklarını ya da iki farklı yolun metre cinsinden uzunluklarını oranlayabilirsin. Bir oranı sadeleştirmek, oranın değerini değiştirmez; sadece sayılarla işlem yapmayı kolaylaştırır. Örneğin 12:18 oranı, her iki taraf 6'ya bölünerek 2:3 oranına indirgenebilir ve bu iki oran matematiksel olarak birbirinin tamamen aynısıdır.
Doğru Orantı
İki büyüklükten biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa) bu iki büyüklük doğru orantılıdır. Doğru orantılı büyüklüklerin oranı sabittir: a/b = sabit. Bir işçinin çalıştığı saat arttıkça kazandığı para artması, doğru orantıya güzel bir örnektir.
Bir işçi 5 saatte 40 lira kazanıyor. Aynı hızla çalışırsa 8 saatte kaç lira kazanır?
Ters Orantı
İki büyüklükten biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu iki büyüklük ters orantılıdır. Ters orantılı büyüklüklerin çarpımı sabittir: a × b = sabit. Bir işi bitiren işçi sayısı arttıkça işin bitme süresinin kısalması, ters orantıya klasik bir örnektir.
12 işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Aynı işi 9 işçi kaç günde bitirir (işçilerin verimi aynı kabul edilsin)?
Orantılı Paylaştırma
Bir miktarı belirli bir orana göre paylaştırma sorularında en pratik yol, verilen oranların toplamını "bir birim parça" olarak kabul etmektir. Toplam miktar, toplam parça sayısına bölünerek bir parçanın değeri bulunur; sonra her pay, kendi oran sayısıyla çarpılır.
600 TL, üç kişi arasında 3:4:5 oranında paylaştırılacaktır. En büyük pay kaç TL'dir?
Aritmetik Ortalama
Bir veri grubunun aritmetik ortalaması, tüm değerlerin toplanıp veri sayısına bölünmesiyle bulunur: Ortalama = (Toplam) ÷ (Veri Sayısı). KPSS'de sıkça "ortalamanın belli bir değere ulaşması için kaçıncı veri kaç olmalı" tarzı sorular çıkar; bu tür sorularda önce istenen ortalamaya göre gereken toplamı, sonra da eksik veriyi bulmak gerekir.
Bir öğrencinin 4 sınav notu sırasıyla 70, 85, 90 ve 75'tir. Bu öğrencinin 5 sınav ortalamasının 82 olabilmesi için 5. sınavdan kaç alması gerekir?
Karışım Problemlerinde Oran Mantığı
Karışım problemlerinde iki ya da daha fazla madde (örneğin farklı fiyattaki şekerler, farklı yüzdedeki tuzlu su çözeltileri) belirli oranlarda karıştırılır. Bu problemlerin çözümünde en güvenilir yöntem, her bileşenin toplam içindeki "katkısını" (miktar × birim değer) ayrı ayrı yazıp toplamaktır: Karışımın toplam değeri = 1. madde miktarı × birim değeri + 2. madde miktarı × birim değeri. Karışımın ortalama birim değeri de, toplam değerin toplam miktara bölünmesiyle bulunur. Bu, aslında ağırlıklı ortalama mantığının bir uzantısıdır; miktarı fazla olan bileşen, ortalamayı kendi değerine daha çok yaklaştırır.
Örneğin kilogramı 20 TL olan 3 kg şeker ile kilogramı 30 TL olan 2 kg şeker karıştırılırsa, karışımın toplam değeri (3×20) + (2×30) = 60 + 60 = 120 TL, toplam miktar ise 3+2 = 5 kg olur. Karışımın kilogram başına ortalama değeri 120 ÷ 5 = 24 TL'dir. Dikkat edersen bu ortalama, iki fiyatın (20 ve 30) tam ortası olan 25 TL'ye değil, miktarı fazla olan bileşenin fiyatına biraz daha yakın çıkmıştır; çünkü miktarlar eşit değildir.
Oran ve orantı, doğru-ters ayrımını netleştirdiğinde ve paylaştırma-ortalama-karışım problemlerinde miktar/toplam ilişkisini kurabildiğinde büyük ölçüde kolaylaşan bir konudur. Bu mantığı, bir sonraki konu olan problemler başlığındaki yaş, işçi-havuz ve yüzde problemlerinde de sürekli kullanacaksın.
Çözümlü Orantı Problemleri
Doğru orantı, ters orantı, karışım ve ortalama mantığını farklı sayılarla birkaç kez daha uygulamak, sınavda karşına hangi kalıpta gelirse gelsin bu problemleri tanımanı kolaylaştırır. Aşağıdaki dört örnek, şimdiye kadar gördüğün mantığı yeni rakamlarla pekiştiriyor.
3 işçi bir işi 12 günde bitiriyor. Aynı işi 4 işçi kaç günde bitirir (işçilerin verimi aynı kabul edilsin)?
2 kg elma 30 TL ise, aynı fiyattan 5 kg elma kaç TL'dir?
%20'lik tuzlu sudan 30 litre ile %50'lik tuzlu sudan 20 litre karıştırılıyor. Elde edilen karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
40 ile 60 sayılarının aritmetik ortalaması kaçtır?
Sık Sorulan Sorular
Bir soruda doğru mu ters mi orantı olduğunu nasıl anlarım?
Kendine şunu sor: "Bir büyüklük artarsa diğeri de artar mı, yoksa azalır mı?" Aynı yönde değişiyorlarsa doğru orantı, ters yönde değişiyorlarsa ters orantı söz konusudur. Örneğin hız arttıkça bir yolu alma süresi azalır, bu yüzden hız ile süre ters orantılıdır.
Orantılı paylaştırmada oranlar sadeleştirilebilir mi?
Evet, hatta sadeleştirmek işlemi kolaylaştırır. Örneğin 6:9:12 oranı, ortak çarpan 3'e bölünerek 2:3:4 oranına indirgenebilir; sonuç değişmez ama sayılarla işlem yapmak kolaylaşır.
Ağırlıklı ortalama ile normal ortalama arasındaki fark nedir?
Normal ortalamada her veri eşit ağırlığa sahiptir. Ağırlıklı ortalamada ise (karışım problemlerinde olduğu gibi) her veri, kendi miktarıyla orantılı bir ağırlığa sahiptir; miktarı fazla olan değer, ortalamayı kendine daha çok çeker.