Problemler
KPSS Matematik'te sayı, yaş, işçi-havuz, hız-hareket, yüzde ve kâr-zarar problemleri; öğrenilen tüm cebirsel becerilerin gerçek hayat senaryolarına uygulandığı sorulardır. Her problem türünün kendine özgü kurulum mantığı vardır; bu mantığı bir kez kavradığında sayılar değişse bile aynı yöntemi tekrar tekrar kullanabilirsin. Bu yazıda altı problem türünü, stratejileriyle ve çözümlü örnekleriyle anlatıyoruz.
Problem Çözmede Genel Strateji
Hangi tür olursa olsun, bir problemi çözmenin ilk adımı bilinmeyeni "x" gibi bir harfle ifade etmektir. İkinci adım, problemde verilen ilişkileri bu harf cinsinden bir denklem hâline getirmektir. Üçüncü adım denklemi çözmek, son adım ise bulduğun sonucu problemin başındaki koşullarla kontrol etmektir. Bu dört adımı her problem türünde uygulayabilirsin; değişen sadece denklemin nasıl kurulacağıdır.
Sayı Problemleri
Sayı problemlerinde iki veya daha fazla sayı arasındaki toplam, fark, oran gibi ilişkiler verilir ve sayıların kendisi sorulur. En sık kullanılan yöntem, sayılardan birini x ile ifade edip diğerini x cinsinden yazmaktır. Toplamı ve farkı verilen iki sayı sorularında ise pratik bir kısayol vardır: büyük sayı = (toplam + fark) ÷ 2, küçük sayı = (toplam − fark) ÷ 2.
İki sayının toplamı 48, farkı 12'dir. Bu sayılardan büyüğü kaçtır?
Yaş Problemleri
Yaş problemlerinde dikkat edilmesi gereken en önemli nokta, zaman ilerledikçe iki kişinin yaşları arasındaki farkın hiç değişmemesidir — sadece yaşların kendisi değişir. "x yıl önce" ifadesi yaştan çıkarma, "x yıl sonra" ifadesi yaşa ekleme anlamına gelir.
Ali'nin yaşı, Ayşe'nin yaşının 3 katıdır. 10 yıl sonra Ali'nin yaşı, Ayşe'nin yaşının 2 katı olacaktır. Ali'nin şimdiki yaşı kaçtır?
İşçi-Havuz Problemleri
Bu tür problemlerde bir işin (ya da bir havuzun) tamamı "1 birim" kabul edilir. Bir işçinin (ya da musluğun) 1 saatte yaptığı iş, işi bitirdiği süreye göre 1/süre olarak ifade edilir. Birlikte çalışıldığında bu "birim iş hızları" toplanır.
Bir havuzu dolduran bir musluk tek başına 6 saatte, ikinci bir musluk tek başına 3 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?
Hız-Hareket Problemleri
Hız problemlerinin temel formülü Yol = Hız × Zaman'dır. Aynı yönde hareket eden araçların hızları birbirinden çıkarılır, zıt yönde (karşılıklı) hareket eden ya da birbirinden uzaklaşan araçların hızları toplanır. Karşılıklı hareket eden iki araç arasındaki mesafe, iki aracın hızları toplamı ile buluşma süresinin çarpımına eşittir.
İki şehir arası uzaklık 300 km'dir. A aracı saatte 60 km, B aracı saatte 90 km hızla, iki şehirden aynı anda birbirlerine doğru harekete geçerse kaç saat sonra karşılaşırlar?
Yüzde Problemleri
Bir sayının yüzdesini bulmak için sayı, yüzdenin 100'e bölünmüş hâliyle çarpılır (%20 = 20/100 = 0,20 gibi). Art arda yapılan yüzde artış ve azalışlarda, ikinci işlem her zaman ilk işlemden sonraki yeni değer üzerinden hesaplanır; başlangıç değeri üzerinden değil. Bu, KPSS'de en çok tuzağa düşürülen noktadır.
Bir ürünün fiyatı önce %20 artırılıyor, sonra yeni fiyat üzerinden %20 indirim yapılıyor. Ürünün son fiyatı, ilk fiyata göre nasıl değişmiştir?
Kâr-Zarar Problemleri
Kâr-zarar problemlerinde temel ilişki şudur: Satış Fiyatı = Alış Fiyatı × (1 + Kâr Oranı) ya da zarar durumunda Satış Fiyatı = Alış Fiyatı × (1 − Zarar Oranı). Soru sana satış fiyatını verip alış fiyatını soruyorsa, bu formülü tersine çevirip alış fiyatını satış fiyatından geriye doğru hesaplaman gerekir.
Bir esnaf, aldığı bir malı %20 zararla 640 TL'ye satmıştır. Bu malın alış fiyatı kaç TL'dir?
Karışım Problemleri
Karışım problemlerinde farklı yoğunlukta (ör. farklı tuz oranına sahip) iki sıvı ya da farklı fiyatlı iki ürün birbirine karıştırılır ve karışımın yeni oranı sorulur. Buradaki altın kural şudur: karıştırılan maddenin toplam miktarı korunur. Yani karışımdaki saf madde (tuz, alkol, altın vb.) miktarı, karıştırılan parçalardaki saf madde miktarlarının toplamına eşittir. Denklemi kurarken önce her parçadaki saf madde miktarını "oran × miktar" biçiminde yaz, sonra bunları topla ve toplam karışıma böl.
%20 tuz içeren 3 litre su ile %40 tuz içeren 2 litre su karıştırılıyor. Oluşan yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?
Formül Özeti ve Tür Tanıma
Bir problemi doğru çözmenin yarısı, onun hangi türe ait olduğunu ilk okuyuşta tanımaktır. Aşağıdaki tablo, her problem türünün temel formülünü ve o türü ele veren anahtar ifadeleri bir arada gösterir. Soruyu okurken bu anahtar kelimeleri yakala; hangi satırdaysan o satırın formülünü kur.
| Problem Türü | Temel Formül / Yöntem | Anahtar İfadeler |
|---|---|---|
| Sayı | Büyük = (toplam+fark)÷2, Küçük = (toplam−fark)÷2 | toplamı, farkı, iki katı, sayısı |
| Yaş | Yaş farkı sabittir; "önce" çıkar, "sonra" ekle | yıl önce, yıl sonra, kaç yaşında |
| İşçi-Havuz | Hız = 1/süre; birlikte çalışınca hızlar toplanır | tek başına, birlikte, kaç saatte biter |
| Hız-Hareket | Yol = Hız × Zaman; zıt yönde hızlar toplanır | km/saat, karşılaşma, aynı/zıt yön |
| Yüzde | Değer × (oran/100); ikinci işlem yeni değer üzerinden | artış, indirim, yüzde kaç |
| Kâr-Zarar | Satış = Alış × (1 ± oran) | alış, satış, kâr, zarar, maliyet |
| Karışım | Saf madde korunur; yeni oran = toplam madde ÷ toplam miktar | tuz/alkol oranı, litre, karıştırılıyor |
Sayı, yaş, işçi-havuz, hız-hareket, yüzde, kâr-zarar ve karışım problemlerinin her biri, aslında aynı dört adımlı stratejinin farklı bir bilinmeyen ve farklı bir formülle uygulanmasından ibarettir. Bol örnek çözerek bu formülleri ve yukarıdaki anahtar ifadeleri otomatik hâle getirdiğinde, sınavda karşına çıkan yeni sayılarla da rahatça baş edersin. Sırada matematik konularının geometriye açılan kapısı olan geometri temel kavramları var.
Sık Sorulan Sorular
Yaş problemlerinde yaş farkı neden hep sabit kalır?
Çünkü zaman ilerledikçe iki kişi de aynı sayıda yıl büyür; ikisine de eşit miktarda yıl eklendiği için aralarındaki fark değişmez. Bu yüzden yaş problemlerinde "fark sabittir" mantığı çoğu zaman en hızlı çözüm yoludur.
İşçi-havuz problemlerinde neden süreler değil, hızlar toplanır?
Çünkü süreler doğrudan toplanırsa yanlış sonuç çıkar; birlikte çalışmak işi hızlandırır, süreyi değil. Bu yüzden önce her işçinin/musluğun 1 birim zamandaki iş miktarı (hızı) bulunur, hızlar toplanır, sonra toplam hızın tersi alınarak süre bulunur.
%50 artış sonra %50 azalış uygulanırsa başa dönülür mü?
Hayır. Örneğin 100 TL önce %50 artırılırsa 150 TL olur; 150 TL'nin %50'si azaltılırsa 75 TL kalır, başlangıçtaki 100 TL'ye dönülmez. Art arda uygulanan eşit yüzdeli artış ve azalışlar birbirini götürmez.